Back

Ο αριθμός π από την γέννησή του έως και σήμερα

Ο αριθμός π από την γέννησή του έως και σήμερα

Θεόδωρος Μερτσανίδης

Πόσες φορές έχεις ακούσει τον αριθμό π από τα μαθητικά σου χρόνια; Και όχι τυχαία, αποτελεί ίσως τον πιο διάσημο αριθμό στα μαθηματικά.

 

Στο σχολείο διδάσκεται από την Β’ γυμνασίου και έπειτα. Οι εφαρμογές του είναι τόσες πολλές που οι περισσότεροι τις συναντούν και στην μετέπειτα πορεία τους στην τριτοβάθμια εκπαίδευση.

 

Η ελληνική λέξη ‘’π’’ χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Willian Jones το μακρινό 1706 μ.Χ. και πιθανολογείται ότι προέρχεται από την λέξη periphery, δηλαδή περιφέρεια.

 

Τι είναι όμως ο αριθμός π; Έχεις καταλάβει ποτέ από τότε που σου το δίδαξαν;

 

Στο παρακάτω άρθρο αναλύουμε πώς προκύπτει ο αριθμός π και παρουσιάζουμε εν συντομία την σπουδαία ιστορία του που αποτέλεσε σταθμό στην παγκόσμια επιστημονική κοινότητα.

Τι είναι ο αριθμός π

Για να καταλάβουμε τι είναι ο αριθμός π, θα πρέπει να καταλάβουμε τι είναι το μήκος ενός κύκλου. Γι’ αυτό και θα το εξετάσουμε με ένα πείραμα που μπορεί να το δοκιμάσει οποιοσδήποτε με πολύ απλό τρόπο.

 

Πάρε έναν διαβήτη και σχεδίασε έναν κύκλο. Πάρε ένα κομμάτι από σπάγγο με κλωστή, τοποθέτησέ την στο πάνω μέρος του κύκλου και κάνε μια περιστροφή μέχρι να φτάσεις στο σημείο το οποίο ξεκίνησες.

 

Τώρα ίσιωσε την κλωστή και μέτρα πόσα εκατοστά είναι. Τα εκατοστά αυτά αποτελούν το μήκος του κύκλου που δημιούργησες. Το μήκος του κύκλου συνήθως το συμβολίζουμε με το αγγλικό γράμμα L, από την λέξη Length που σημαίνει μήκος

Διάμετρος ενός κύκλου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της περιφέρειας του κύκλου και διέρχεται από το κέντρο του. Τη διάμετρο ενός κύκλου την συμβολίζουμε συνήθως με το ελληνικό γράμμα δ.

 

Αν διαιρέσουμε το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του, θα παρατηρήσουμε ότι το πηλίκο της διαίρεσης L/δ θα μας δώσει περίπου 3,14. Με απλά λόγια η διάμετρος ενός κύκλου χωράει περίπου 3,14 φορές στο μήκος αυτού του κύκλου.

 

Το μέγεθος του κύκλου δεν έχει σημασία. Αν σχηματίσουμε για παράδειγμα έναν μεγαλύτερο κύκλο από αυτόν που δημιουργήσαμε στο πείραμα, τότε θα μεγαλώσει το μήκος του κύκλου L, θα μεγαλώσει η διάμετρος του κύκλου δ, αλλά το πηλίκο της διαίρεσης L/δ θα παραμείνει σταθερό και θα ισούται περίπου 3,14.

 

Αυτός ο σταθερός αριθμός που είναι ίσος με περίπου 3,14 ονομάζεται σταθερά π.

Δες το βίντεο που επεξηγεί τι είναι ο αριθμός π 

Ο π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί σαν ένα κλάσμα. Η δεκαδική του μορφή δεν έχει πεπερασμένα ψηφία (όπως το 1/4=0,25) ή άπειρα επαναλαμβανόμενα ψηφία (όπως το 1/6 = 0,1666666….. ). Έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία,  μη επαναλαμβανόμενα.

 

Τα πρώτα 100 ψηφία του π είναι:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067

Η ιστορία του αριθμού π

Ιστορικά, η προσπάθεια εκτίμησης της τιμής του αριθμού π ξεκινάει από την αρχαιότητα. Το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, το οποίο ήταν και ένα από τα τρία περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας οδήγησε ουσιαστικά στη μέτρηση του και από εκεί στην ανακάλυψη του αριθμού π.

 

Οι πρώτες καταγραφές του αριθμού π γίνονται από τους αρχαίους Βαβυλώνιους κατά το 2.000 π.Χ., οι οποίοι υπολόγισαν το εμβαδόν ενός κύκλου παίρνοντας 3 φορές το τετράγωνο της ακτίνας του, δίνοντας για το π την τιμή π=3. 

 

Αργότερα, κατά το 1.900 με 1.680 π.Χ., επιγραφές στη Βαβυλώνα υποδηλώνουν ότι η αξία του π είναι 3,125 που αποτελεί μια εξαιρετική προσέγγιση δεδομένου της εποχής, αρκεί να αναλογιστούμε ότι εκείνη η περίοδος αποτελεί την αρχή της εποχής του σιδήρου!

 

Κατά το 1650 π.Χ. οι αρχαίοι Αιγύπτιοι εκτίμησαν ότι η αξία του π είναι 3,1605.

 

Μια από τις πιο σημαντικές εκτιμήσεις όμως πραγματοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη, έναν από τους μεγαλύτερος μαθηματικούς της αρχαίας εποχής.

 

Παρατήρησε ότι αν δημιουργηθεί ένας κύκλος, ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο (μέσα στον κύκλο) και ένα περιγγεγραμμένο τετράγωνο (έξω από τον κύκλο), ο αριθμός π θα μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής.

Περίμετρος περιγγεγραμμένου τετραγώνου / διάμετρο κύκλου = 4

Περίμετρος εγγεγγραμμένου τετραγώνου / διάμετρο κύκλο = 2,82

 

Άρα 4<π<2,82.

 

Στη συνέχεια παρατήρησε ότι ένα κανονικό πεντάγωνο μοιάζει περισσότερο με τον κύκλο και ένα κανονικό εξάγωνο ακόμα περισσότερο κλπ.

Χρησιμοποιώντας λοιπόν ένα κανονικό πολύγωνο με 96 πλευρές εγγεγραμμένο σε έναν κύκλου (μέσα στον κύκλο) και ένα κανονικό πολύγωνο με 96 πλευρές περιγγεγραμμένο στον κύκλο (έξω από τον κύκλο), κατάφερε να εκτιμήσει τον αριθμό π πάλι με τον ίδιο τρόπο.

 

Περίμετρος περιγγεγραμμένου πολυγώνου  / διάμετρο κύκλου = 3,1408

Περίμετρος εγγεγγραμμένου πολυγώνου / διάμετρο κύκλο = 3,1429

Άρα 3,1408 < π < 3,1429

Στον Πλάτωνα αποδίδεται η παρακάτω φράση

«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι»

Τα γράμματα κάθε λέξης της παραπάνω φράσης αντιστοιχούν σε ένα ψηφίο του αριθμού π από τα πρώτα 23.

 

Αεί (3,) ο (1) Θεός (4) ο (1) Μέγας (5) γεωμετρεί (9), το (2) κύκλου (6) μήκος (5) ίνα (3) ορίση (5) διαμέτρω (8), παρήγαγεν (9) αριθμόν (7) απέραντον (9), και (3) όν (2), φεύ (3), ουδέποτε (8) όλον (4) θνητοί (6) θα (2) εύρωσι (6)

Η μελέτη του αριθμού π έπαυσε να απασχολεί την Ευρώπη για πάνω από μια χιλιετία. Την σκυτάλη πήραν μαθηματικοί από την Κίνα, Ινδία και Περσία. Χρησιμοποίησαν παρόμοιες μεθόδους με αυτές του Αρχιμήδη για την εκτίμηση του π, συγκρίνοντας το εμβαδόν των κανονικών πολυγώνων που άγγιζαν έως και 12.288 πλευρές. Ως αποτέλεσμα να εκτιμάται ότι π=3.14159.

 

Η ενασχόληση με τον αριθμό π στην Ευρώπη επανέρχεται κατά το 1.600 μ.Χ. Η ανάπτυξη της Άλγεβρας και τις ανάλυσης αποτέλεσαν καθοριστικό παράγοντα για τον ακριβέστερο προσδιορισμό του.

 

Το 1699 ο Αbraham Sharp, Άγγλος μαθηματικός και αστρονόμος προσδιόρισε τον αριθμό π με ακρίβεια 71 ψηφίων. Το 1706  ο John Machin, καθηγητής αστρονομίας προσδιόρισε το π με ακρίβεια 100 ψηφίων και το 1719 ο μαθηματικός Thomas Fantet de Lagny με ακρίβεια 112 ψηφίων.

 

Τον 20ο αιώνα η ανακάλυψη των υπολογιστών έκανε πολύ πιο εύκολη την διαδικασία προσέγγισης του αριθμού π,  με εκτιμήσεις που ανέρχονται σε ακρίβεια 2.037 ψηφίων.

 

Σήμερα το παγκόσμια ρεκόρ υπολογισμού του αριθμού π το κατέχει ο Peter Trueb, υπολογίζοντας τον με ακρίβεια 22.459.157.718.361 (22,4 τρισεκατομμύρια) ψηφίων. Ο υπολογιστής που χρησιμοποίησε για να τρέξει το πρόγραμμα περιείχε 24 σκληρούς δίσκους με 6 terabytes μνήμης για να καλύψει το μεγάλο όγκο δεδομένων που απαιτούσε η διαδικασία προσδιορισμού των αριθμών.

Η προσφορά του αριθμού π

Λόγω της συσχέτισής του με τον κύκλο, ο αριθμός π εμφανίζεται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών όπως είναι η τριγωνομετρία (ένας κλάδος των μαθηματικών που εξετάζει την σχέση μεταξύ του μήκους των πλευρών ενός τριγώνου με τις γωνίες του) και η γεωμετρία, οι οποίες είναι απαραίτητες σε άλλους τομείς όπως η αρχιτεκτονική και η ρομποτική.

 

Βοηθάει τους επιστήμονες να καταλάβουν αντικείμενα και φαινόμενα στη φύση που περιλαμβάνουν κυκλικό σχήμα, όπως η τροχιά των πλανητών, τα ομόκεντρα κύματα που δημιουργούνται από μια πέτρα που πέφτει για παράδειγμα σε μια λίμνη ή ακόμα και τον τρόπο με τον οποίο ο ήχος ‘’κυματίζεται΄’’.

 

Εμφανίζεται ακόμα και σε υπολογισμούς όπου οι κύκλοι δεν φαίνεται να υπάρχουν, όπως είναι η ταυτότητα το Euler eiπ+1=0, μια ταυτότητα που αφορά τον κλάδο των μιγαδικών αριθμών και έχει χαρακτηριστεί ως ‘’μαθηματική ομορφιά’’.

 

Από το 1988 και έπειτα, ο αριθμός π γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, λόγω της αναγραφής της ημερομηνίας 3/14 σύμφωνα με τον Αμερικανικό τρόπο γραφής που περιλαμβάνει τα 3 πρώτα ψηφία του αριθμού.

 

Η ημέρα αυτή γιορτάζεται με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους με εκδηλώσεις σε διάφορα μουσεία και πανεπιστήμια, όπως συζήτηση για την σημασία του αριθμού, κατανάλωση και πέταγμα πιτών, ακόμα και παρέλαση γύρω από τους κυκλικούς χώρους αυτών των κτιρίων.

 

Αϊνστάιν, Χόκινς , π (Pi)

 

Παράλληλα αυτή η ημέρα είναι ιστορικής σημασίας, γιατί είναι η ημέρα της γέννησης του Albert Einstein (14 Μαρτίου 1879) και του θανάτου του Steven Hawking (14 Μαρτίου 2018), δύο από τους λαμπρότερους φυσικούς της σύγχρονης ιστορίας μας.

Επίλεξε την online εκπαίδευση με την στήριξη της e-Noesis!

Δοκίμασε δωρεάν
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση